Medidas y operaciones con ángulos.

Medida de ángulos

Los ángulos los medimos con grados y se simboliza con el signo ∘ (por ejemplo: 93 grados lo expresamos como 93∘).

Para establecer esta medida dividimos lo que seria un ángulo completo en 360 grados, y a partir de esta definición podemos saber cuanto mide un grado.

Para entenderlo mejor recordemos que un ángulo completo es el ángulo formado por dos rectas que estén superpuestas:

Un ángulo completo es un ángulo de 360 grados.

Una vez establecida esta medida, podemos observar que:

• Un ángulo recto mide 90∘.
• Un ángulo agudo mide entre 0∘ y 90∘.
• Un ángulo llano mide 180∘.
• Un ángulo obtuso mide entre 90∘ y 180∘.
• Un ángulo completo mide 360∘.
• Un ángulo cóncavo mide entre 180∘ y 360∘
  

y también observamos que:

• • Dos ángulos rectos forman uno llano (90∘+90∘=180∘).
  • Dos ángulos llanos forman uno completo (180∘+180∘=360∘).
  • Cuatro ángulos rectos forman uno completo (90∘+90∘+90∘+90∘=360∘).

  Suma de ángulos

  Como podemos ver, tenemos libertad para sumar ángulos, pero, ¿qué pasa si al sumarlos superamos un ángulo de 360grados?
  Pues bien, nosotros hemos definido los ángulos desde el ángulo de 0∘ hasta el de 360∘ y si nos fijamos, la posición relativa de dos rectas en posiciones de 0∘ y de 360∘ son semejantes:
   
  Esto nos viene a decir que si al sumar dos ángulos superamos los 360∘ podemos buscar un ángulo de entre 0∘ y 360∘ y que sea semejante al de la suma.
  Por ejemplo,

• Ejemplo

  Si sumamos un ángulo de 90∘ más uno de 360∘, obtenemos uno de 450∘, que es semejante a uno de 90∘

   más  = 
  Metódicamente, si hacemos una suma de ángulos y supera los 360∘, para obtener el ángulo semejante situado entre 0∘ y 360∘tenemos que restar sucesivamente 360∘ hasta encontrar un ángulo de como máximo 360∘.

  Ejemplo

  Realicemos la suma de los ángulos 90∘,180∘,66∘,25∘,300∘,21∘ y 80∘:

  90∘+180∘+66∘+25∘+300∘+21∘+80∘=762∘

  
  

  y ahora restemos 360∘ sucesivamente hasta encontrar un ángulo no mayor a 360∘:762

  ∘−360∘=402∘

  
  

  402∘−360∘=42∘

  
  

  Por consiguiente, la suma de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 42 grados.

  Resta de ángulos

  De la misma manera que hemos definido la suma de ángulos definimos la resta de ángulos.

  Por ejemplo,

  Ejemplo

  Un ángulo llano menos un ángulo recto resulta un ángulo recto:

   menos  = 

• Bisectriz de un ángulo

  Diremos que la bisectriz de un ángulo formado por dos rectas es el ángulo formado por una tercera recta que divide el ángulo original en dos ángulos idénticos:
  
  En este dibujo podemos ver que la recta roja divide el ángulo formado por las otras dos rectas por la mitad.
  Para calcular el ángulo formado por la recta bisectriz, simplemente se tendrá que dividir por dos el valor del ángulo inicial.

  Ejemplo

  Dado un ángulo de 42∘ encontrar el ángulo bisectriz.

  Dividimos por dos 42 y encontramos que:

  42∘2=21∘

  
  

  Por consiguiente, la recta bisectriz tiene un ángulo de 21 grados.